Texto Final - Grupo 3: “Matemática Financeira e Indicadores de Investimento”

Matemática Financeira e Indicadores de Investimentos

             O conceito matemática financeira surgiu da necessidade do homem realizar cálculos que estão ligados à questão do valor de uma quantia de dinheiro em um determinado período de tempo (juros e inflação) e aparecem em nosso cotidiano nas mais variadas formas de aplicação, tais como empréstimos, investimentos e avaliação financeira de projetos. A maior parte das movimentações financeiras baseia-se na estipulação de taxas adicionais, conhecidas como juros. Como exemplo, podemos citar um cidadão que vai ao banco efetuar um empréstimo e tem como forma de pagamento prestações mensais acrescidas de juros tornando o valor de quitação deste empréstimo superior ao valor inicial do empréstimo.

             A aplicação de juros é uma prática muito antiga, exercida desde a civilização dos Sumérios, que nessa época, quitavam os juros de suas dívidas fazendo o pagamento através de sementes ou de outros bens emprestados, além de registrarem documentos como faturas, recibos, notas promissórias, juros simples e compostos, hipotecas, etc. em tábuas, como mostra o exemplo a seguir:

Tábuas que os Sumérios utilizavam para registrarem documentos.

            Atualmente, os juros podem ser capitalizados segundo dois regimes: juros simples ou juros compostos.

            Mas e agora, quando utilizar juros simples ou juros compostos? A maior parte das transações em que se envolve dinheiro faz uso do regime de juros compostos, como por exemplo, empréstimos bancários, compras a médio e longo prazo, compras com cartão de crédito, entre outras. Nos dias de hoje é extremamente raro o uso de regime de juros simples, pois são menos lucrativos, e podem ser encontrados nas operações de curtíssimo prazo, e do processo de desconto simples de duplicatas. Depois de esclarecidos alguns conceitos sobre juros, vejamos a definição destes dois tipos de regimes.

·         JUROS SIMPLES:

Conforme explicado, o regime de juros simples foi deixado de lado atualmente, mas vejamos como funcionavam as capitalizações neste sistema. Os juros são calculados de acordo com o valor de uma dívida ou aplicação, dessa maneira, o valor dos juros é igual nos períodos de aplicação ou composição da dívida.

A seguir, veja a expressão matemática utilizada para estes casos:

J = C * I * T

Onde:

J = Juros

C = Capital

I = Taxa de Juros

T = Tempo de aplicação dos juros (Mensal, Bimestral, Trimestral, Semestral, Anual...).

M = C + J

Onde:

M = Montante Final

C = Capital

J = Juros

Abaixo, temos um exemplo de como aplicar essas expressões:

1) Qual será o valor do montante produzido através de um capital de R$ 1.500,00, aplicado no regime de juros simples com uma taxa mensal de 2%, durante 5 meses?

C = R$ 1.500,00

I = 2% = 0,02 (ao mês)

T = 5 MESES

J = C * I * T

J = 1.500 * 0,02 * 5

J = R$ 150,00

M = C + J

M = 1500 + 150

M = R$ 1.650,00

Resposta: O montante produzido será de R$ 1.650,00 reais.

•       JUROS COMPOSTOS:

Regime utilizado atualmente principalmente por oferecer maior lucro, pois neste caso, o rendimento incide mês a mês de acordo com o somatório acumulativo do capital com o rendimento mensal.

A seguir, veja a expressão matemática utilizada para estes casos:

M = C * (1+l)^t

Onde:

M = Montante

C = Capital

I = Taxa de Juros

T = Tempo de Aplicação

Abaixo, temos um exemplo de como aplicar essas expressões:

   1)    Qual será o valor do montante produzido através de um capital de R$ 1.500,00, aplicado a uma taxa de juros mensais de 2%, durante 5 meses?

C = R$ 1.500,00

I = 2% = 0,02 (ao mês)

T = 5 MESES

M = C * (1 + I)^T

M = 1.500 * (1 + 0,02)^5

M = 1.500 * (1,02)^5

M = 1.500 * 1,1040

M = R$ 1.656,12

Resposta: O montante será de R$ 1.656,12.                                                                        

Compras à Vista ou Parceladas

            Depois de compreender os conceitos e regimes possíveis sobre juros, vejamos as aplicações possíveis que estão mais próximas de nosso cotidiano. Ao efetuar uma compra, o consumidor pode pagar à vista ou parcelado. A compra parcelada é uma boa opção para quem não pode ou não tem todo o dinheiro para efetuar a compra, nessa forma o custo é dividido em parcelas. É comum a cobrança de juros com base no valor da compra, juros que são embutidos nas parcelas. Por isso temos que tomar cuidado com as taxas de juros que as empresas impõem.

•   Comparativo entre comprar à vista ou a prazo.

Uma televisão é vendida pelo valor de R$ 1.500,00 á vista ou em 6 parcelas de R$ 270,00 sem entrada. Uma pessoa conseguiu guardar dinheiro suficiente para comprar essa televisão à vista, porém, essa pessoa esta em dúvida, qual seria a melhor forma para comprar essa TV. Se o dinheiro for investido no banco, ele receberá 1,6% de juros mensais. Dessa forma, qual a opção mais vantajosa para este consumidor?

Simulação de uma compra parcelada, demonstrando em cada mês o saldo inicial, o juros recebido, o saque para o pagamento da parcela da TV e o saldo final do mês.

Lembrando que 1,6% = 1,6/100 = 0,016.

Escolhendo o pagamento a prazo, a pessoa terá de para R$ 36,31 a mais para pagar a ultima parcela da dívida. Dessa forma, é mais vantajoso comprar o produto à vista.

Se o valor inicial fosse dividido em 6 vezes, as parcelas teriam valores iguais a R$ 250,00. Observe como ficaria a situação: 

Escolhendo o pagamento a vista, a pessoa terá um lucro de R$ 88,59. Portanto, efetuar uma compra, procure verificar as formas de pagamento e escolha a que mais cabe ao seu estado atualmente.

Desvalorização Financeira

             Hoje em dia cada país no mundo possui sua própria  moeda, no Brasil temos o real, nos Estados Unidos o dólar, e assim por diante, e cada moeda tem  o  seu  poder  de compra,  que  não  é  constante,  ou  seja,  está  sempre  em mudança.  Este  poder  compra  é  interno,  dentro  de  seu  próprio  país,  mas  em alguns casos a moeda se torna tão forte que acaba tendo um poder de compra fora de seu país também, pelo mundo. Um ótimo exemplo deste tipo de moeda é o próprio dólar, que já é muito forte por todo o mundo. Por exemplo, o dólar muitas vezes é a moeda utilizada em trocas internacionais, ou em parâmetro 

de preço para alguns produtos. 

             Este poder de compra são índices que o estabelecem. Conforme o preço dos produtos cresce são chamados de índices inflacionários. E quando estes preços caem eles são chamados de índices deflacionários. Ou seja, a inflação é caracterizada pela diminuição do poder de compra do dinheiro, o que faz com que a moeda diminua já a deflação é caracterizado pelo aumento do poder de compra do dinheiro. E cada país tem várias empresas que ficam responsáveis pela  verificação  do  aumento  e  diminuição  destes  preços,  ou  seja,  como  eles estão em cada momento. 

             No  Brasil  existe  o  IGPM  que  quer  dizer  Índices  Gerais  de  Preços  do Mercado. O governo do Brasil utiliza estes  tipos de índices, para através deles poder verificar se há aumentos abusivos nos preços, o que crescer os índices inflacionários. O real mesmo foi o que salvou o Brasil depois de anos com os preços muito altos para tudo, estava com uma enorme inflação.

             E a  inflação é um assunto que sempre deve estar atento, pois, ela pode ajudar  fazer  um  país  a  entrar  numa  crise.  A  inflação  age  diretamente  na desvalorização do dinheiro, porque a partir do momento em que há inflação em um produto, por menor que seja este aumento, uma pessoa que recebe certo salário  e  podia  comprar  certa  quantidade  deste  produto  antes  da  inflação, depois  da  mesma  a  quantidade  de  produtos  que  ele  poderá  comprar  irá diminuir, mostrando assim como há uma queda no poder de compra do salário, e na  própria moeda, pois comprando uma quantidade menor destes produtos, mostra como o dinheiro está valendo menos, ou seja, foi desvalorizado.  

             Inflação pode ser resumida como sendo um índice econômico que tem 

poder de desvalorizar seu dinheiro.

Índices Inflacionários

             Quando  o  preço  dos  produtos  sofrem  frequentes  e  incessantes reajustes,  podemos  dizer  que  ocorreu  inflação,  caso  os  preços  dos  produtos não  sofreu  variações durante  um  período,  podemos  dizer  que  houve  uma estabilidade, e já se os preços decresceram, podemos chamar de deflação.

             Quando o poder aquisitivo do dinheiro diminui, fazendo com que o preço de tal produto suba, e por consequência fazendo com que precisemos de mais dinheiro agora do que antes para a aquisição do mesmo, é o momento quando 

ocorre a inflação.

             A  inflação  pode  ser  medida,  desde  que  seja  também  acompanhada  e regulamentada pelo governo federal, e este auxiliado por órgãos do governo, exemplo o Banco Central, Ministério da Fazenda e Economia, e alguns outros ministérios,  secretárias,  entidades,  institutos  e  fundações  de  grande importância para o andamento da economia brasileira.

             Existem  sete  índices  utilizados  para  a  medição  da  inflação  e regularização dos preços do mercado brasileiro, seguem abaixo:

• INPC  –  Índice  nacional  de  preços  ao  consumidor:  este  índice  é utilizado para  a verificação  do custo  de vida  média das famílias que  possuem  renda  mensal  entre  1  e  6  salários  mínimos, residentes nas principais capitais do país.
• IPCA  –  Índice  nacional  de  preços  ao  consumidor  amplo:  este índice  é  como  o  INPC,  mas  a  faixa  salarial  para  comparação  é com famílias entre 1 e 40 salários mínimos.
• IGP  –  DI  –  Índice  geral  de  preços  –  disponibilidade  interna:  é incumbido de analisar as variações dos preços, desde matérias primas até o seu beneficiamento.  O IGP-DI é composto por três indicadores  econômicos:  IPA  (Índices  de  Preços  por  Atacado), IPC  (Índice  de  Preços  ao  Consumidor)  e  INCC  (Índice  Nacional de Custo da Construção). 
• IGP  –  M  –  Índice geral de preços  –  mercado: é indicado na hora da correção de serviços como TV paga, aluguéis, entre outros.
• IPC  –  S  –  Índice  de  preços  ao  consumidor  –  semanal:  abrange produtos relacionados à alimentação, vestuário, habitação, saúde, educação, transporte e despesas diversas nas principais cidades brasileiras: Belo Horizonte, Brasília, Porto Alegre, Rio de Janeiro, Salvador e São Paulo. A pesquisa é feita envolvendo a população com renda por volta de até 30 salários mínimos. 
• IPC  –  FIPE (Índice  de  Preços  ao  Consumidor  do  Município  de São Paulo): avalia as famílias paulistanas com renda em torno de 20 salários mínimos.
• IPV (Índice de Preços no Varejo): verifica as variações dos preços no mercado varejista, analisando individualmente os produtos de acordo com o consumo.

Aplicações Financeiras

             O atual sistema financeiro possibilita a todas as pessoas  alguns tipos de ganhos  extras  tratando-se de capital, contanto que as mesmas tenham posse de algum para ser movimentado. A mais comum e mais acessível entre todos nós é a caderneta de poupança, capaz de gerar rendimentos mensais, tem fácil acessibilidade  e  não  tem  um  prazo  pré-definido  de  aplicação,  além  disso,  o investidor  poderá  fazer  a  retirada  de  seu  capital  a qualquer  instante,  sem nenhuma burocracia. Além da caderneta de poupança, temos outra aplicação que paga taxas de juros mais compensatórias: os títulos de capitalização.

             Os títulos de capitalização tem um sistema de funcionamento diferente, podem  ser  comercializados  apenas  por  entidades  financeiras  autorizadas  e fiscalizadas pelo Banco Central. O cliente e  portador do título faz aplicação de seu  capital  fixo  mensalmente,  e  ao  decorrer  do  tempo,  concorre  a  vários prêmios em dinheiro através de sorteios realizados pela financeira.

             O cálculo do  montante desse tipo de aplicação, que contém depósitos mensais  com  valores  fixos,  além  das  taxas  mensais  e  número  de  meses previstos, faz uso das seguintes expressões matemáticas:

             Considerando que o resgate seja efetuado 30 dias após o último depósito.

             Considerando que o resgate aconteça ime

diatamente após o último depósito.

Sendo:

I = Taxa (deve ser dividida por 100)

P = Valor do depósito

M = Montante final

N = Período de capitalização

             1)  Investindo mensalmente o valor de R$ 150,00 em um título de capitalização 

             que paga juros de 1% ao mês, qual o valor a ser resgatado após 12 meses, 

             considerando o resgate após 30 dias do último depósito?

             Resposta: M = R$ 1.921,40

Caso o resgate do dinheiro seja imediatamente após o último depósito:

Resposta: M = R$ 1.902,37

Depreciação de Valores

             Empresas  possuem  bens  patrimoniais,  tais  objetos  tem  um  valor  quando  se encontra  no  estado  novo,  porém,  os  objetos  que  são  usados  mais frequentemente  como  móveis,  veículos  e  maquinas,  vão  se  desvalorizando com o passar do tempo. A boa utilização e conservação desses bens garantem que a empresa em uma negociação futura da venda desses bens patrimoniais, consiga  vender  a  um  preço  acima  do  valor  “justo”  que é  calculado  por  tal formula.

             O cálculo da depreciação de objetos é baseado na taxa percentual de 

desvalorização anual. Como podemos ver nessa formula.

Vd = Vp*(1 - i)^t

Vd – valor depreciado

Vp – valor pago

i – taxa de depreciação

t – tempo decorrido em anos

Exemplo:

             1)  O valor de um veículo é de R$ 50.000,00. Levando em conta que a taxa 

             de depreciação é de 10% ao ano. Quanto irá valer esse veículo após 10 

             anos de uso?

             Depreciação de 10% corresponde a um taxa de -0,1 ao ano.

             VR = 50.000,00 * (1 – 0,1)

             10

             VR = 50.000,00 * (0,9)

             10

             VR = 50.000,00 * 0,3486784401

             VR = 17.433,92

             Podemos  concluir  que  o  valor  desse  veículo  após  10  anos  de  uso  será  de 

50.000,00 - 17.433,92 = R$ 32.566,08.

Desconto Composto Racional

 

Hoje em dia percebemos o que é mais utilizado atualmente é o mecanismo que é chamado de juros compostos. Juros composto, que resumidamente podem ser ditos como sendo os juros sobre outros juros.

Percebe-se que atualmente todos os dias milhares de pessoas realizam empréstimos. E elas não estão nada mais do que usufruindo o que o mercado, não só no Brasil, mas no mundo, oferece para as pessoas. Produtos como a promissória, títulos do tesouro nacional, financiamentos, consórcios e muitos outros disponíveis no mercado.

E existem os descontos, que é uma operação muito utilizada, e é aquele em que a taxa de desconto incide sobre o montante ou valor futuro, pegando os descontos acumulados do período anterior. Simplificando é a diferença entre o valor nominal e o valor atual, em n períodos. A quem diga que eles são sinônimos de juros compostos.

Nas situações de descontos é utilizado um fator que se chama descapitalização. Descapitalização na fórmula que será mostrada mais adiante que serve para identificar o valor atual é a parte ­(1 + i)^–n. E se percebe, mesmo sem muitos conhecimentos que isto influencia diretamente no resultado da conta, pois quanto maior o valor de i, que é o desconto, maior será o valor atual.

A fórmula para o valor atual é:

Sendo:

·               A: Valor Atual

·               N: Valor Nominal

·               i: Taxa de Desconto

·               n: Tempo (antecipação do desconto)

Exemplo:

Suponha que um valor nominal igual R$ 8.000,00, e que falte dois meses para ele vencer, e com uma taxa de desconto de 3% ao mês.

N = 8000

i = 3% = 0,03

n = 2

A = 8000 *(1 + 0,03)^–2

A = 8000 *(1,03)^-2

A = 8000 *(1/1,03)²

A = 8000 *(1/1,0609)

A = 8000 * 0,9426

Então, A = 7540,80, como A corresponde ao valor atual, o valor atual é igual a R$ 7540,80.

Cálculo do Valor Atual

Nada mais é do que ser feito o cálculo do valor de um determinado produto em um determinado momento. Hoje em dia um dos mecanismos de compra é o de parcelas, e toda compra financiada é paga em parcelas, sendo que estão presentes nelas os juros, cada um de acordo com o da empresa que está financiando. Este método, de parcelas, também pode oferecer há uma respectiva loja além do lucro do produto, os juros sobre as parcelas.

Isso até merece certa atenção e cuidado, pois há lojistas que, para se beneficiarem oferecem este modo de pagamento, que é o parcelado e induz ao cliente a pagar desta maneira, falando até que tanto o pagamento parcelado e o à vista possuem o mesmo valor. Isto é abuso, pois as compras à vista devem ter descontos no valor total da compra, ou pelo menos saírem mais baratas ao cliente que está pagando à vista do que o que paga através de um parcelamento, afinal de contas à pessoa está efetuando um pagamento à vista, no momento da compra, ou seja, o lojista recebe o dinheiro na hora, e isso tem que beneficiar ao cliente que faz isso, de alguma maneira.

Fórmula para o cálculo do valor atual:

Onde:

·      VA: Valor Atual

·      V: Valor da Prestação

·      i: Taxa de Juros

·      n: Períodos

Exemplo: Suponha 5.000 a juros de 3% a serem pagos em 12 meses, a primeira vencendo daqui a 30 dias.

VA = 5000

i = 3% = 0,03

n = 12

5000 = V * (1 + 0,03)¹² – 1

                   (1 + 0,03)¹² * 0,03

5000 = V * 1,03¹² – 1

                   1,03¹²*0,03

5000 = V * 1,425761 – 1

                   1,425761 * 0,03

5000 = V * 0,425761

                   0,042773

5000 = V * 9,953966

V = 5000 / 9,953966

Então, V = 502,31, como V corresponde ao valor da prestação, o valor da prestação é igual a R$ 502,31.

Fluxo de Caixa

O fluxo de caixa é uma ferramenta que serve para fazer o controle da movimentação financeira (a entrada e saída do dinheiro) em um período determinado. Ele serve para fazer uma demonstração gráfica das transações que a empresa realizou.

O uso do fluxo de caixa facilita a gestão de uma empresa, pois ela pega seu saldo atual, verifica as entradas e saídas, e por um período de tempo a empresa tem uma noção da situação do salto futuro, sabendo se estará em um saldo positivo ou negativo.

O tempo é representado na horizontal dividido pelo numero de períodos relevantes para esta análise. As entradas ou recebimento estão representados por setas que apontam para cima e as saídas ou pagamentos estão representados por setas que apontam para baixo. Observe a demonstração abaixo:

·         VP – Valor Presente representa o valor inicial que a empresa possui na data 0 (data que se inicia a demonstração do fluxo) e nessa demonstração o Valor Presente é de R$ 1.000,00.

·         VF – Valor Futuro representa o valor futuro que a empresa terá ao fim do fluxo, nessa demonstração a data final de demonstração é 5 e a empresa terá um saldo de R$ 500,00.

O fluxo de caixa é um recurso essencial para os gestores de empresa, pois os gestores sabem com precisão qual a situação futura da empresa, e com base nos resultados, pode decidir os caminhos que a empresa deve seguir.

Inflação

A inflação é um aumento persistente e generalizado no valor dos produtos. Quando a inflação chega à zero, dizemos que ocorreu uma estabilidade nos preços dos produtos.

Podemos dividir a inflação em:

Inflação de demanda

Dizemos que a inflação por demanda ocorre quando há um excesso de demanda acumulada em relação à produção disponível. A probabilidade é alta de ocorrer à inflação por demanda quando a economia produz próximo do emprego de recursos.

Para combater o processo inflacionário por demanda, a politica econômica deve encontrar meios para reduzir o consumo acumulado de bens e serviços. Tais meios podem ser (aumento da carga tributaria aumento das taxas de juros, controle de credito, entre outros).

Inflação de custos

A inflação de custo é associada à inflação de oferta. O nível da demanda de produtos e serviços permanece o mesmo e os custos aumentam. Com o aumento do custo ocorre uma diminuição na produção o que faz os preços de mercados subirem. As causas mais comuns da inflação de custo são: aumento no preço da matéria prima, o que faz o custo de produção aumentar bastante gerando um aumento no preço final do produto. Aumento no salario dos funcionários também gera um impacto no preço final do produto. E por fim, a estrutura de mercado que algumas empresas aumentam seus lucros acima da elevação dos custos de produção.

Inflação inercial

Inflação Inercial refere-se à ideia de memória inflacionária, onde o índice atual é a inflação passada mais a expectativa futura. A inflação se mantém no mesmo patamar sem aceleração inflacionária e é decorrente de mecanismos de indexação. Estes mecanismos podem ser formais e informais.

·         Formais: regras específicas e legais de aumento, a exemplo de aluguéis e mensalidades escolares.

·         Informais: quando os agentes são seguidores de preço, ou seja, aumentam o preço porque os outros também o fizeram.

Índices Inflacionários

          A inflação possui vários índices entre eles o IGP (Índice Geral de Preços), IPA (Índice de Preços no Atacado), INPC (Índice Nacional de Preços ao Consumidor), IPCA (Índice de Preços ao Consumidor Amplo), INCC (Índice Nacional do Custo da Construção), CUB (Custo Unitário Básico).

Bibliografia

SAMANEZ, Carlos Patrício. Matemática financeira – aplicações à análise de investimentos, 3ª ed. São Paulo: Prentice Hall, 2002.

http://www.brasilescola.com/matematica/matematica-financeira.htm

Acesso em 15/03/2013

http://www.brasilescola.com/matematica/compras-vista-ou-parceladas.htm

Acesso em 15/03/2013

http://www.brasilescola.com/matematica/juros-compostos.htm

Acesso em 15/03/2013

http://www.brasilescola.com/matematica/juros-simples.htm

Acesso em 15/03/2013

http://www.brasilescola.com/matematica/Indices-inflacionarios.htm

Acesso em 05/04/2013

http://www.brasilescola.com/matematica/aplicacoes-financeiras.htm

Acesso em 05/04/2013

http://www.brasilescola.com/matematica/depreciacao-valores.htm

Acesso em 05/04/2013

http://www.brasilescola.com/matematica/desvalorizacao-financeira.htm

Acesso em 05/04/2013

Fluxo de Caixa. Disponível em: <http://www.somatematica.com.br/emedio/finan5.php>. Acesso em: 16 de maio de 2013.

Inflação. Disponível em: <http://www.brasilescola.com/economia/inflacao.htm>. Acesso em: 16 de maio de 2013.

NOÉ, MARCOS. Índices Inflacionários. Disponível em: <http://www.brasilescola.com/matematica/Indices-inflacionarios.htm>. Acesso em: 16 de maio de 2013.

OLIVEIRA, G. A. Indicadores inflacionários. Disponível em:

 <http://www.mundoeducacao.com.br/matematica/indicadores-inflacionarios.htm>. Acesso em: 17 de maio de 2013.

IPC, INPC, IPCA, IGPM, IGP-DI, IPA, INCC… inflação ou sopa de letrinhas? Disponível em: <http://www.caieiraspress.com.br/economia.php?acao=ver&id=362>. Acesso em: 17 de maio de 2013.

Significado de Fluxo de Caixa. Disponível em: <http://www.significados.com.br/fluxo-de-caixa/>. Acesso em: 17 de maio de 2013.

 Prof.º Francisco Ribeiro

Disciplina: Economia

Felipe Portillo Delgado             AD121169

Gustavo Massuela                  AD121173

Matheus Alamino                     AD121185

Christopher Ohata                   AD121165